抛物型拟线性离散偏微分方程的 Schauder 估计

我们研究定义在 $n$ 维单位环面上的反应扩散型拟线性离散偏微分方程 $\partial_t u = \Delta^N \varphi(u)+ Kf(u)$，其非线性扩散项在网格尺寸 $\tfrac1N$（$N\in {\mathbb N}$）下离散，其中 $\Delta^N$ 为离散拉普拉斯算子，$\varphi$ 为严格递增的 $C^5$ 函数，$f$ 为 $C^1$ 函数。我们建立了关于 $N$ 一致的解的一阶与二阶空间离散导数的 $L^\infty$ 界和时空 Hölder 估计。方程中 $K>0$ 为大常数，我们展示了这些估计如何依赖于 $K$。本工作的动机最初源于对相互作用粒子系统流体力学标度极限的研究。我们的方法是在 Hölder 估计与 Schauder 估计意义上的两步法，这已知适用于连续抛物型偏微分方程。我们首先基于 Nash 估计，对具有连续系数的关联线性离散偏微分方程的解证明了关于 $N$ 一致的离散 Hölder 估计。接着我们建立了具有一致 Hölder 系数的线性离散偏微分方程的离散 Schauder 估计。离散与连续设置之间的联系由多项式插值给出。由于该操作具有非局部性质，方法需要适当修正。我们还讨论了另一种基于对应基本解研究的方法。