带有分数阶 Laplace 算子的非线性扩散理论的近期进展

我们报告了涉及非局部、长程扩散效应的非线性扩散方程研究的近期进展。我们主要关注所谓的分数阶多孔介质方程 $\partial_t u +(-\Delta)^{s}(u^m)=0$ 及其一些推广。与通常的多孔介质流相反，分数阶版本对所有指数 $0<s<1$ 和 $m>0$ 均具有无穷大的传播速度；另一方面，它也生成了一个 $L^1$-压缩半群，该半群连续依赖于分数阶微分指数和非线性指数。在建立一般存在性与唯一性理论之后，我们描述了其主要性质：正性、正则性、连续依赖性、先验估计、Schwarz 对称化等。我们构造了自相似解（分数阶 Barenblatt 解），它们解释了一大类解的渐近行为。在快扩散范围内，我们研究了有限时间灭绝并找到了合适的特解。我们讨论了 KPP 型传播。我们还考察了推广该模型的一些相关方程，并简要评论了当前的工作。