有界域上局部与非局部多孔介质型方程的尖锐整体估计

本文对形如 $\partial_t u + {\mathcal L}u^m=0$, $m>1$ 的多孔介质型非线性扩散方程的非负解进行了定量研究，其中算子 ${\mathcal L}$ 属于一般线性算子类，方程在有界域 $\Omega\subset{\mathbb R}^N$ 中给出。作为可能的算子，我们包含了有界域中带有零Dirichlet条件的分数阶拉普拉斯算子的三种最常见定义，以及许多其他非局部版本。特别地，${\mathcal L}$ 可以是具有 $C^1$ 系数的一致椭圆算子的幂。由于非线性由 $u^m$ 且 $m>1$ 给出，该方程是退化抛物型。这类方程的基本适定性理论最近在[14,15]中发展。这里我们处理正则性理论：衰减与正性、边界行为、Harnack不等式、内部与边界正则性以及渐近行为。所有这些都以定量的方式完成，基于尖锐的先验估计。尽管我们关注分数阶模型，我们的结果也覆盖了当 ${\mathcal L}$ 为一致椭圆算子时的局部情形，并且即使在此设定下也提供了新的估计。本文发现的一个令人惊讶的方面是长时间边界行为中可能存在不匹配的幂次。更精确地，当 ${\mathcal L}=(-\Delta)^s$ 是光滑域内Dirichlet拉普拉斯算子的谱幂时，我们可以证明：- 当 $2s> 1-1/m$ 时，对于大时间所有解在边界附近表现为 ${\rm dist}^{1/m}$；- 当 $2s\le 1-1/m$ 时，不同解可能展现不同的边界行为。这一意外现象是该模型非局部非线性结构的全新特征，并且在半线性椭圆方程 ${\mathcal L}u^m=u$ 中不存在。