有界域上的非局部退化抛物-双曲方程：第二部分：存在性

我们研究在具有一般 Dirichlet 边界/外部条件的界域上，退化混合型抛物-双曲方程 $$\partial_tu+\textrm{div}\big(f(u)\big)=\mathcal{L}[b(u)]$$ 的适定性。非局部扩散算子 $\mathcal{L}$ 是一个对称 L{\'e}vy 算子（例如分数阶拉普拉斯算子），且 $b$ 是非递减的并允许具有退化区域（$b'=0$）。在 [N. Alibaud, J. Endal, E. R. Jakobsen, and O. M{\ae}hlen. Nonlocal degenerate parabolic hyperbolic equations on bounded domains. \emph{Ann. Inst. H. Poincare Anal. Non Lineaire}, 2025. Published online first, DOI 10.4171/AIHPC/153] 中，我们引入了该问题的熵解定义，并在一般假设下证明了解的唯一性。在本文中，我们通过证明此类解的存在性完成了该研究计划。从标量守恒律的已知结果出发，首先通过不动点论证针对有界/零阶算子 $\mathcal{L}$ 证明存在性，然后通过对 $\mathcal{L}$ 的逼近逐步将其扩展到更一般的算子。通过非线性弱-$\star$ 紧致性和熵过程解，克服了近似解 $u_n$ 缺乏强紧致性的问题。关键要素是我们定义的稳定性结果以及项 $b(u)$ 的 \textit{强} 紧致性，两者均关于 $\mathcal{L}$ 的变化成立。强紧致性来源于能量估计以及将弱正则性从 $\partial_t u_n$ 转移到 $\partial_t b(u_n)$ 的新颖论证。我们的工作既可以看作是将非局部理论从全空间扩展到有界域，也可以看作是将有界域上的局部理论扩展到非局部情形。与局部理论不同，我们的定义不假设能量估计。它们现在是该定义的推论，但与以往的非局部理论不同，它们在我们的论证中起着至关重要的作用。我们建立了若干具有独立意义的结果，包括对相应能量/Sobolev 空间紧嵌入 $L^2$ 的 L{\'e}vy 算子 $\mathcal{L}$ 的刻画。