正半轴上二阶单调微分包含的存在性结果

考虑实 Hilbert 空间 $H$ 中的微分方程（包含）$(E)$：$p(t)u^{\prime \prime}(t)+q(t)u^{\prime}(t)\in Au(t)+f(t)$ 对几乎处处 $t>0$ 成立，并满足条件 $(B)$：$u(0)=x \in \overline{D(A)}$，其中 $A\colon D(A)\subset H\rightarrow H$ 是一个（可能是集值的）最大单调算子，其值域包含 $0$；$p,q\in L^{\infty}(0,\infty)$，且 $\mathrm{ess} \inf \ p>0$ 以及 $q^+ \in L^1(0, \infty)$。非齐次情形下的存在性问题受到的关注较少。另一方面，多位作者非常关注有界解（如果存在）在 $t\rightarrow \infty$ 时的渐近行为，无论是在齐次还是非齐次情形下。最近，我与 H. Khatibzadeh 合作 [Set-Valued Var. Anal. DOI 10.1007/s11228-013-0270-3] 建立了在 $p \equiv 1$，$q\equiv 0$ 且最优条件 $tf(t) \in L^1(0,\infty ; H)$ 下，$(E)$，$(B)$ 的（弱和强）有界解的存在性。在本文中，我们将此结果推广到满足上述温和条件的非恒定函数 $p, \, q$ 的一般情形，从而弥补了此类二阶问题存在性理论的缺失。值得注意的是，我们的结果开启了应用 Lions 的人工粘性法来逼近某些非线性抛物型和双曲型问题解的可能性，正如本文最后一节所示。