超越对偶性的非线性抛物方程组的适定性

我们发展了一种方法，用于证明一大类标准单调算子理论失效的非线性抛物初边值方程组在最优正则性空间中的适定性。我们技术可处理的一个启发性例子如下方程组：$$\partial_tu-\mathrm{div} ( \nu(|\nabla u|) \nabla u )= -\mathrm{div} f$$ 其中给定严格正的有界函数$\nu$，满足$\lim_{k\to \infty} \nu(k)=\nu_\infty$，且$f \in L^q$，$q\in (1,\infty)$。对于$q\ge 2$的存在性、唯一性与正则性结果目前已是标准。然而，即便先验估计可得，在$q\in (1,2)$情形下的存在性实质上缺失。我们通过诉诸适当的加权空间，克服了相关的关键困难，即标准对偶配对的缺乏，从而在整个范围$q\in (1,\infty)$内给出存在性、唯一性与最优正则性。