具有自由边界的半线性抛物型方程组

本文研究了一维空间中具有自由边界的半线性抛物型方程组。假设未知函数 $u$ 和 $v$ 经历非线性反应 $u^q$ 和 $v^p$，初始存在于区间 $\{0\leq x\leq s(0)\}$ 内，但随着传播前沿 $\{x=s(t)\}$ 向右扩展，其中 $s(t)$ 根据自由边界条件 $s'(t)=-\mu (u_x+\rho v_x)$ 演化，这里 $p,\, q,\, \mu, \,\rho$ 为给定的正常数。本文的主要目的是理解正解或最大正解的存在性、唯一性、正则性及长时间行为。首先，我们证明了当 $p,\,q\geq 1$ 时，该问题在最大存在区间 $[0,T_{\max})$ 上具有唯一的正解 $(u,v,s)$；而当 $p<1$ 或 $q<1$ 时，在最大存在区间 $[0,T_{\max})$ 上具有唯一的最大正解 $(u,v,s)$。此外，$(u,v,s)$ 和 $T_{\max}$ 具有如下性质：要么 (i) $T_{\max}=+\infty$，要么 (ii) $T_{\max}<+\infty$ 且 $$\limsup_{T\nearrow T_{\max}}\|u,\,v\|_{L^{\infty}([0,T]\times[0,s(t)])}=+\infty.$$ 接着，我们研究了 $(u,v)$ 和 $s$ 的正则性。最后，我们讨论了全局存在性 ($T_{\max}=+\infty$)、有限时间爆破 ($T_{\max}<+\infty$) 以及有界全局解的长时间行为。