半线性热方程非线性项增长与初值函数奇性的阈值

设 $N\ge 1$，$f\in C[0,\infty)$ 为非负非减函数，$u_0$ 为可能奇异的非负初值函数。我们关注在 $f$ 的温和假设下，半线性热方程 $$\begin{cases} \partial_tu=\Delta u+f(u) & \textrm{in}\ \mathbb{R}^N\times(0,T),\\ u(x,0)=u_0(x) & \textrm{in}\ \mathbb{R}^N \end{cases}$$ 在一致局部 Lebesgue 空间中时间局部非负解的存在与不存在性。我们详细研究了 $f$ 的增长与 $u_0$ 的可积性之间的关系。我们的存在性定理给出了临界与次临界情形下 $u_0$ 的尖锐可积性条件，并可应用于正规变化或快速变化函数 $f$。在双临界情形，非负解的存在与不存在可通过特殊处理判定。当 $f(u)=u^{1+2/N}[\log(u+e)]^{\beta}$ 时，获得了非负解存在与不存在的完整分类。我们还证明了在 $L^r_{\rm ul}(\mathbb{R}^N)$ 中有界一致连续函数空间闭包内，与 Laister 等人 [11] 相同的刻画仍然成立。主要技术工具为单调迭代法、$L^p$-$L^q$ 估计、Jensen 不等式与微分不等式。