二维半线性热方程的适定性与无条件非唯一性
偏微分方程分析
2010-08-17 v1
摘要
我们研究了在二维空间中具有指数增长非线性的半线性热方程的初值问题。首先，我们证明了在Sobolev空间 中解的局部存在性与无条件唯一性。尽管唯一性部分遵循了Brezis-Cazenave在维度 的单项式非线性情况下的证明 \cite{Br}，但它并非平凡的。接下来，我们表明在散焦情况下我们的解是有界的，因此对所有时间都存在。在聚焦情况下，我们证明了任何具有负能量的解都会在有限时间内爆破。最后，我们表明一旦稍微扩大Sobolev空间 ，无条件唯一性结果就会丧失。该证明在于构造一个奇异驻态解，当它作为热方程的初始数据时会获得一些正则性。Orlicz空间似乎适用于此结果，因为在这种情况下，势项仅仅是一个可积函数。
引用
@article{arxiv.1008.2443,
title = {Well posedness and unconditional non uniqueness for a 2D semilinear heat equation},
author = {Slim Ibrahim and Rym Jrad and Mohamed Majdoub and Tarek Saanouni},
journal= {arXiv preprint arXiv:1008.2443},
year = {2010}
}