具有一般幂指数非线性的热方程的适定性、整体存在性与衰减估计

在本文中，我们考虑问题：$\partial_{t} u- \Delta u=f(u),\; u(0)=u_0\in \exp L^p(\R^N),$ 其中 $p>1$ 且 $f : \R\to\R$ 在无穷远处具有指数增长并满足 $f(0)=0$。我们证明了对于 $f(u)\sim \mbox{e}^{|u|^q},\;0<q\leq p,\; |u|\to \infty$，在 $\exp L^p_0(\R^N)$ 中的局部适定性。然而，如果对于某个 $\lambda>0,$ $\displaystyle\liminf_{s\to \infty}\left(f(s)\,{\rm{e}}^{-\lambda s^p}\right)>0,$ 则在 $\exp L^p(\R^N)$ 中会发生非存在性。在对初始数据施加小性条件且对于当 $u\to 0$ 时满足 $|f(u)|\sim |u|^{m}$ 的指数非线性 $f$ 满足 ${N(m-1)\over 2}\geq p$ 的情况下，我们证明了该解是整体的。特别地，允许 $p-1>0$ 充分小。此外，我们获得了在大时间下依赖于 $m$ 的 Lebesgue 空间中的衰减估计。