L^1 空间中的双临界半线性热方程

我们研究半线性热方程 $\partial_tu=\Delta u+|u|^{p-1}u$ 在 $\mathbb{R}^N\times(0,T)$ 中，$u(x,0)=\phi(x)$ 在 $\mathbb{R}^N$ 中的 Cauchy 问题的存在性与不存在性，空间为 $L^1(\mathbb{R}^N)$。此处 $N \ge 1$，$p=1+2/N$，$\phi\in L^1( \mathbb{R}^N)$ 为可能变号初值函数。由于 $N(p-1)/2=1$，$L^1$ 空间是尺度临界的，该问题被称为双临界情形。已知并非对每一个 $\phi\in L^1(\mathbb{R}^N)$ 解都存在。令 $X_q:=\{ \phi\in L^1_{\rm{loc}}(\mathbb{R}^N)\ |\ \int_{\mathbb{R}^N}|\phi| \left[\log (e+|\phi|)\right]^qdx<\infty \} (\subset L^1(\mathbb{R}^N))$。本文对 $\phi\in X_q$（若 $q\ge N/2$）在 $L^1(\mathbb{R}^N)$ 中构造了局部时间温和解。我们利用 Baras-Pierre [Ann. Inst. H. Poincar\'{e} Anal. Non Lin\'{e}aire 2 (1985), 185--212] 给出的必要条件证明，对每个 $0\le q<N/2$，存在一个非负初值函数 $\phi_0\in X_q$ 使得该问题无非负解。由于 $X_q\subset X_{N/2}$（$q\ge N/2$），$X_{N/2}$ 成为尖锐的可积性条件。我们还证明了在某函数类中的唯一性，该类保证由我们的方法构造的解的唯一性。