负 Sobolev 空间中 $L^2$-临界半线性热方程的全局粗糙解

在本文中，我们考虑 $L^2$-临界半线性热方程 $\partial_t h=\Delta h\pm |h|^{\frac4d}h,$（其中 $h(0,x)=h_0$）的柯西全局问题，这里 $h$ 是定义于 $\R^+\times\R^d$ 上的未知实函数。在该课题的大多数研究中，初始数据 $h_0$ 属于某个 $p\ge 2$ 的 Lebesgue 空间 $L^p(\R^d)$ 或次临界 Sobolev 空间 $H^{s}(\R^d)$（$s>0$）。我们在此证明存在依赖于 $d$ 的正常数 $\varepsilon_0$，使得对于任意径向、支撑远离原点且属于负 Sobolev 空间 $\dot H^{-\varepsilon_0}(\R^d)$（包含某些 $p<2$ 的 $L^p(\R^d)$ 作为子空间）的初始数据 $h_0$，该柯西问题局部与全局适定。此外，我们还考虑了无条件唯一性，以及当时间 $t\to0$ 与 $t\to +\infty$ 时的 $L^2$-估计。