半线性热方程的全局存在性与渐近行为

本文考虑 $L^2$-临界半线性热方程 $\partial_t h=\Delta h\pm |h|^{\frac4d}h,$（其中 $h(0,x)=h_0$）的全局柯西问题，这里 $h$ 是定义于 $\R^+\times\R^d$ 上的未知实函数。在关于该课题的大部分研究中，初始数据 $h_0$ 属于某个 $p\ge 2$ 的勒贝格空间 $L^p(\R^d)$ 或次临界索伯列夫空间 $H^{s}(\R^d)$（$s>0$）。首先，我们证明存在依赖于 $d$ 的正常数 $\gamma_0$，使得对任意径向、支集远离原点且属于负索伯列夫空间 $\dot H^{-\gamma_0}(\R^d)$ 的初始数据 $h_0$，该柯西问题局部与全局适定。特别地，这给出了上述柯西问题在属于某个 $p<2$ 的 $L^p(\R^d)$ 的适当子空间的初始数据下的局部与全局存在性。其次，在散焦情形及聚焦情形中初始数据适当小时，对任意大的初始数据 $h_0\in \dot H^{-\gamma_0}(\R^d)$ 得到了解的尖锐渐近行为（即 $L^2$-衰减估计）当 $t\to +\infty$ 时。