Hardy-Hénon 抛物方程的渐近自相似全局解

我们构造 Hardy-Hénon 抛物方程 $\partial_t u - \Delta u = \pm |x|^{\gamma} |u|^{\alpha-1} u$（$\alpha>1$，$\gamma \in \mathbb{R}$）的渐近自相似全局解。对于广泛的初始数据集合（属于加权 Lorentz 空间），该解可能渐近于线性热方程的自相似解，或渐近于 Hardy-Hénon 抛物方程的自相似解，具体取决于初始数据在无穷远处衰减速度。对于 Hénon 情形（$\gamma>0$）的渐近结果是新的。我们还证明了渐近轮廓的稳定性。我们的方法适用于$\gamma> -\min(2,d)$，并统一了$\gamma>0$、$\gamma=0$ 和$-\min(2,d)<\gamma<0$的情形。对于复数初始数据，可以展示更复杂的渐近行为；如果实部或虚部之一的初始数据在空间上的衰减更快，则解表现出一种混合的非线性-“修正线性”渐近行为，这即使在 $\gamma=0$ 的 Fujita 情形下也是全新的。在附录中，我们展示了超临界初始数据不存在局部正解。