关于含反平方势的 Hardy-Hénon 热方程

我们研究 Hardy-Hénon 抛物方程的 Cauchy 问题，其含有反平方势，即\n\n$$\partial_tu -\Delta u+a|x|^{-2} u= |x|^{\gamma} F_{\alpha}(u),$$\n\n其中 $a\ge-(\frac{d-2}{2})^2,$ $\gamma\in \mathbb R$, $\alpha>1$ 且 $F_{\alpha}(u)=\mu |u|^{\alpha-1}u, \mu|u|^\alpha$ 或 $\mu u^\alpha$, $\mu\in \{-1,0,1\}$。我们在加权 Lebesgue 空间中建立了热 semigroups $e^{-t (-\Delta + a|x|^{-2})}$ 的尖锐固定时间衰减估计。这可能本身也具有独立的兴趣。作为应用，我们在尺度亚临界和临界加权 Lebesgue 空间中建立局部 well-posedness，并在临界加权 Lebesgue 空间中得到小数据全局存在结果。进一步地，在 $\gamma$ 和 $\alpha$ 满足 certain 条件时，我们指出亚临界 regime 中的初始数据的局部解不能延伸为全局解，从而展示了亚临界 Lebesgue 空间范数下的有限时间 blow-up。我们还展示在超临界情况下（当 $\alpha>1+\frac{2+\gamma}{d}$ 即 Fujita 指数时）不存在局部正弱解（因此导致局部 well-posed性失效）。