双曲空间上的非线性热方程：整体存在性与有限时间爆破

我们考虑双曲空间上半线性热方程的如下 Cauchy 问题：\begin{align}\label{abs:eqn} \left\{\begin{array}{ll} \partial_{t}u=\Delta_{\mathbb{H}^{n}} u+ f(u, t) &\hbox{ in }~ \mathbb{H}^{n}\times (0, T),\\ \\ \quad u =u_{0} &\hbox{ in }~ \mathbb{H}^{n}\times \{0\}. \end{array}\right. \end{align} 我们针对属于 $C(\mathbb{H}^{n}) \cap L^{\infty}(\mathbb{H}^{n})$ 的非负初值数据 $u_0$ 以及形如 $f(u,t) = h(t)g(u)$ 的不同 $f$ 的选择研究 Fujita 现象。众所周知，对于 $u$ 的幂非线性，幂权 $h(t) = t^q$ 是次临界的，即小初值数据存在非负整体解。另一方面，对于指数权 $h(t) = e^{\mu t}$，它表现出 Fujita 现象，即存在一个临界指数 $\mu^*$ 使得若 $\mu > \mu^*$ 则所有非负解在有限时间内爆破，而若 $\mu \leq \mu^*$ 则对小初值数据存在非负整体解。本文的主要目标之一是找到 $u$ 中适当的非线性，使得上述带幂权 $h(t) = t^q$ 的 Cauchy 问题确实表现出 Fujita 现象。在本文剩余部分，我们研究 $u$ 中指数非线性的 Fujita 现象。我们进一步将其中部分结果推广到 Cartan-Hadamard 流形。