半线性 Euler-Poisson-Darboux 方程：一类具有临界耗散的波动方程

本文研究具有幂次非线性的 Euler-Poisson-Darboux 方程柯西问题整体时间能量解的存在性：$$u_{tt}-u_{xx} + \frac\mu{t}\,u_t = |u|^p \,, \quad t>t_0, \ x\in\mathbb{R}\,.$$ 此处 $t_0=0$（奇异问题）或 $t_0>0$（正则问题）。该模型代表一类具有临界耗散的波动方程，其意义在于整体小数据解存在的可能性不仅依赖于幂次 $p$，也依赖于参数 $\mu$。我们证明，假设在 $L^1$ 与能量空间中初值较小，则对任意 $\mu>0$，当 $p>p_c =\max\{p_0(1+\mu),3\}$ 时存在整体时间能量解，其中 $p_0(k)$ 为 W.A. Strauss 所猜想的无耗散半线性波动方程在空间维数 $k$ 下的临界指数，而 $3$ 为 H. Fujita 对半线性热方程所得临界指数。我们还收集了多维 EPD 方程 $$u_{tt}-\Delta u + \frac\mu{t}\,u_t = |u|^p \,, \quad t>t_0, \ x\in\mathbb{R}^n\,,$$ 在幂次 $p$ 大于 Fujita 指数且 $\mu$ 足够大时的若干整体时间小数据解存在性结果。