阻尼波方程的 $L^p$-$L^q$ 估计及缓衰减数据非线性问题的临界指数

我们研究阻尼波方程 \begin{align*} \partial_{t}^2 u - \Delta u + \partial_t u = 0 \end{align*} 的 Cauchy 问题，并给出解在 $1\le q \le p < \infty\ (p\neq 1)$ 情况下带导数损失的锐利 $L^p$-$L^q$ 估计。这是对所谓 Matsumura 估计的改进。此外，作为其应用，我们考虑初始数据在 $(H^s\cap H_r^{\beta}) \times (H^{s-1} \cap L^r)$ 中的非线性问题，其中 $r \in (1,2]$，$s\ge 0$，$\beta = (n-1)|\frac{1}{2}-\frac{1}{r}|$，并证明解的局部和全局存在性。特别地，我们证明了幂为 $1+\frac{2r}{n}$ 的临界非线性在小初始数据下存在全局解，而已知当 $r=1$ 时临界幂 $1+\frac{2}{n}$ 属于爆破区域。我们还讨论了超临界情况下全局解的渐近行为。此外，我们给出了亚临界情况下的爆破结果。通过 ODE 论证给出了寿命和爆破率的估计。