由混合局部-非局部算子驱动的半线性阻尼波方程的渐近行为

本文研究了带有混合局部-非局部算子 $\mathcal{L}_{a,b}:=-a\Delta+b(-\Delta)^{\sigma}$ 的半线性阻尼波方程 $u_{tt}+\mathcal{L}_{a,b}u+u_t=|u|^p$ 的 Cauchy 问题，其中 $a,b\in\mathbb{R}_+$ 且 $\sigma\in(0,1)\cup (1,+\infty)$。我们确定该问题的临界指数为 $p_{\mathrm{crit}}=1+\frac{2\min\{1,\sigma\}}{n}$，该指数严格区分了时间全局存在解与有限时间爆破解。此外，对于超临界情形 $p>p_{\mathrm{crit}}$，我们建立了时间全局解的渐近轮廓，展示了当 $\sigma\in(0,1)$ 时的反常扩散和当 $\sigma\in(1,+\infty)$ 时的经典扩散，并给出了精确的衰减估计。对于 $1<p\leqslant p_{\mathrm{crit}}$ 时在有限时间内爆破的解，我们推导了寿命上下界的精确估计。我们的结果揭示了混合算子对解定性性质的关键影响，通过 $\max\{1,\sigma\}$ 或 $\min\{1,\sigma\}$ 从根本上决定了其临界现象、大时间行为和爆破动力学。