含空间依赖尺度不变阻尼和时间导数非线性的一维波方程的临界指数

本文研究了含有形式为 $\mu_0(1+x^2)^{-1/2}$ 的空间依赖阻尼（其中 $\mu_0>0$）以及时间导数非线性的一维波方程的 Cauchy 问题。我们通过在适当的 Sobolev 空间中对联合问题进行能量估计，建立了对于初始数据较小且受限于紧支撑区域的温和解的全局存在性。进一步地，我们通过采用测试函数方法推导出在某些正初始数据下的 blow-up 结果。这表明临界指数由 $p_G(1+\mu_0)=1+2/\mu_0$ 给出，当 $\mu_0\in (0,1]$时，其中 $p_G$ 为 Glassey 指数。据我们所知，这是本类方程第一个识别临界指数范围的结果。作为副产品，我们将全局存在结果推广到更一般的空间/时间非线性形式：$f(\partial_tu,\partial_x u)=|\partial_x u|^{q}$ 或 $f(\partial_tu,\partial_x u)=|\partial_tu|^{p}|\partial_x u|^{q}$，其中 $p,q>1$。