具有时间依赖尺度不变阻尼的小振幅半线性波动方程的全局存在性

在本文中，我们证明了当初始数据较小时，具有时间依赖尺度不变阻尼项的半线性波动方程的全局存在性精确结果。更具体地，我们考虑 Cauchy 问题 $\partial_t^2u-\Delta u+\frac{\mu}{t}\partial_tu=|u|^p$，其中 $n\ge 3$，$t\ge 1$ 且 $\mu\in(0,1)\cup(1,2)$。对于作为 $(n+\mu-1)p^2-(n+\mu+1)p-2=0$ 正根的临界指数 $p_{crit}(n,\mu)$ 和共形指数 $p_{conf}(n,\mu)=\frac{n+\mu+3}{n+\mu-1}$，我们建立了 $n\geq3$ 且 $p_{crit}(n,\mu)<p\leq p_{conf}(n,\mu)$ 时的全局存在性。证明基于将波动方程转化为半线性广义 Tricomi 方程 $\partial_t^2u-t^m\Delta u=t^{\alpha(m)}|u|^p$，其中 $m=m(\mu)>0$ 和 $\alpha(m)\in\Bbb R$ 是两个合适的常数，然后我们研究更一般的半线性 Tricomi 方程 $\partial_t^2v-t^m\Delta v=t^{\alpha}|v|^p$ 并建立相关的加权 Strichartz 估计。回到原始波动方程，可以获得关于小数据解 $u$ 的相应全局存在性结果。