具尺度不变阻尼的二维半线性波动方程的全局小数据弱解 II

对于具尺度不变阻尼的二维半线性波动方程 $\partial_t^2u-\Delta u+\frac{\mu}{t}\partial_tu=|u|^p$，其中 $t\ge 1$ 且 $p>1$，在论文 [T. Imai, M. Kato, H. Takamura, K. Wakasa, The lifespan of solutions of semilinear wave equations with the scale-invariant damping in two space dimensions, J. Differential Equations 269 (2020), no. 10, 8387-8424] 中，猜想当 $\mu\in (0, 2)$ 且 $p>p_{s}(2+\mu) =\frac{\mu+3+\sqrt{\mu^2+14\mu+17}}{2(\mu+1)}$，以及当 $\mu\geq 2$ 且 $p>p_f(2)=2$ 时，全局小数据弱解 $u$ 存在。在我们的前一篇论文中，已对 $p_{s}(2+\mu)<p<p_{conf}(2,\mu)=\frac{\mu+5}{\mu+1}$ 且 $\mu\in(0,1)\cup(1,2)$ 的情况获得了全局小解 $u$。在本文中，我们将证明当 $p\geq p_{conf}(2,\mu)$ 且 $\mu\in(0,1)\cup(1,2)$ 时小解 $u$ 的全局存在性。在后续论文中，我们将证明在剩余情形 $\mu>2, p>2$ 或 $\mu=1, p>p_s(\mu+2)=1+\sqrt 2$ 下小解 $u$ 的全局存在性。