一维空间中的半线性 Tricomi 方程

对于一维半线性 Tricomi 方程 $\partial_t^2 u-t\partial_x^2u=|u|^p$，其初值 $(u(0,x), \partial_t u(0,x))$ $=(u_0(x), u_1(x))$，其中 $t\ge 0$，$x\in\mathbb{R}$，$p>1$，且 $u_i\in C_0^\infty(\mathbb{R})$ ($i=0,1$)，我们将证明存在临界指数 $p_{\rm crit}=5$，使得当 $p>p_{\rm crit}$ 时小数据弱解 $u$ 整体存在；另一方面，当 $1<p<p_{\rm crit}$ 时弱解 $u$ 一般在有限时间内爆破。我们特别指出，对于一维半线性波动方程 $\partial_t^2 v-\partial_x^2v=|v|^p$，弱解 $v$ 对于任意 $p>1$ 一般都会在有限时间内爆破。通过本文及 \cite{HWYin1}-\cite{HWYin3}，我们已对方程 $\partial_t^2 u-t\Delta u=|u|^p$ 在所有空间维度上小数据解 $u$ 的爆破或整体存在性给出了系统研究。本文的主要要素之一是建立一维线性退化方程 $\partial_t^2 w-t\partial_x^2 w=F(t,x)$ 带初值 $(w(0,x), \partial_t w(0,x))=(0,0)$ 的一个关键加权 Strichartz 型不等式，即对某些实数 $\alpha$ 导出了解 $w$ 与函数 $F$ 之间带权重 $(\frac{4}{9}t^3-|x|^2)^{\alpha}$ 的不等式。