三维立方非线性薛定谔方程的爆破准则

我们考虑三维非线性薛定谔方程 $i\partial_t u + \Delta u + |u|^2u=0$ 的解 $u$。特别地，我们感兴趣的是寻找预测 $u(t)$ 渐近行为的初始数据 $u_0$ 的准则，例如，$u(t)$ 是否在有限时间内爆破，是否全局存在但长时间行为类似于线性解（散射），或者全局存在但不散射。如果 $M[u]E[u]\leq M[Q]E[Q]$，其中 $M[u]$ 和 $E[u]$ 分别表示 $u$ 的质量和能量，$Q$ 表示方程 $-Q+\Delta Q +|Q|^2Q=0$ 的基态解，那么这个问题（至少对于 $H^1$ 数据）已经解决。在这里，我们利用一种插值型不等式和位力恒等式，证明了一个新的爆破充分条件，该条件适用于某些满足 $M[u]E[u]>M[Q]E[Q]$ 的初始数据。我们的条件类似于 Lushnikov (1995) 得到的一个条件，但我们的方法可以适用于径向、无限方差的初始数据，并且可以概念性地表述为：对于实值初始数据，如果一定比例的质量包含在单位球内，则发生爆破。我们还解析地证明（如果取 $\|Q\|_{\dot H^{1/2}}$ 的数值计算值），存在具有负二次相位的 Gaussian 初始数据 $u_0$，使得 $\|u_0\|_{\dot H^{1/2}} < \|Q\|_{\dot H^{1/2}}$，但解 $u(t)$ 发生爆破。最后，我们给出几个数值计算的例子。