具有反幂势的非线性 Schrödinger 方程的最小质量爆破解

我们考虑如下具有反幂势的非线性 Schrödinger 方程：$$i\frac{\partial u}{\partial t}+\Delta u+|u|^{\frac{4}{N}}u\pm\frac{1}{|x|^{2\sigma}}u=0$$ 于 $\mathbb{R}^N$ 中。由经典论证可知，具有亚临界质量（$\|u\|_2<\|Q\|_2$）的解在 $H^1(\mathbb{R}^N)$ 中是整体存在且有界的。此处，$Q$ 是质量临界问题的基态。因此，我们关注阈值情形（$\left\|u_0\right\|_2=\left\|Q\right\|_2$）下爆破解的存在性与行为。先前的研究考察了当势为光滑或不可界但代数可处理时临界质量爆破解的存在性与行为。对于经典方法无法使用的情形，如反幂型势，尚不存在任何结果。然而，我们构造了一个临界质量的初值，其对应解在有限时间内爆破。此外，我们证明了相应的爆破解在 virial 空间中收敛到某一爆破剖面。