具反幂势双幂非线性薛定谔方程的最小质量爆破解

我们考虑如下具双幂非线性和反幂势的非线性薛定谔方程：$$i\frac{\partial u}{\partial t}+\Delta u+|u|^{\frac{4}{N}}u+C_1|u|^{p-1}u+\frac{C_2}{|x|^{2\sigma}}u=0$$ 于 $\mathbb{R}^N$ 中。由经典论证，具有亚临界质量 ($\left\|u_0\right\|_2<\left\|Q\right\|_2$) 的解在 $H^1(\mathbb{R}^N)$ 中整体存在且有界，其中 $Q$ 为质量临界问题的基态。先前结果表明，对 $C_1>0$ 且 $C_2=0$ 或 $C_1=0$ 且 $C_2>0$ 的方程存在最小质量爆破解，并研究了爆裂时刻附近的解行为。此外，它们提示亚临界幂非线性和反幂势关于爆破具有相似作用。另一方面，先前结果也表明对 $C_1<0$ 且 $C_2=0$ 或 $C_1=0$ 且 $C_2<0$ 的方程不存在最小质量爆破解。本文中，我们研究对 $C_1>0>C_2$ 或 $C_1<0<C_2$ 的方程，即亚临界幂非线性和反幂势相互抵消彼此效应时，最小质量爆破解的存在性与行为。进一步，我们对具临界质量的任意有限时间爆破解给出下估计，并证明当 $(C_1,C_2,p,\sigma)$ 满足特定条件时临界质量爆破解的能量为正。