一类具有小初值的三维拟线性波动方程经典解的爆破

本文研究三维非线性波动方程 $\partial_t^2u-\left (1+u+\p_t u\right)\Delta u=0$ 的小光滑数据问题。该方程是更一般方程 $\dsize\sum_{i,j=0}^3g_{ij}(u, \nabla u)\partial_{ij}u=0$ 的典型代表，其中 $x_0=t$，且 $g_{ij}(u, \nabla u)=c_{ij}+d_{ij}u+\dsize\sum_{k=0}^3e_{ij}^k\partial_ku+O(|u|^2+|\nabla u|^2)$ 是其变量的光滑函数，$c_{ij}, d_{ij}$ 和 $e_{ij}^k$ 为常数，并对某些 $(i,j)$ 有 $d_{ij}\neq0$；此外，$\dsize\sum_{i,j,k=0}^3e_{ij}^k(\partial_ku)\p_{ij} u$ 不满足零条件。对于三维非线性波动方程 $\partial_t^2u-\left (1+u\right)\Delta u=0$ 和 $\partial_t^2u-\left (1+\partial_t u\right)\Delta u=0$，H. Lindblad、S. Alinhac 和 F. John 分别证明和否定了小光滑数据解的整体存在性。对于径向初值，我们证明了 $\partial_t^2u-\left(1+u+\partial_t u\right)\Delta u=0$ 的小光滑数据解在有限时间内爆破。同时给出了当 $\varepsilon\to0^+$ 时渐近寿命 $T_{\varepsilon}$ 的显式表达式。