具小初值的三维拟线性波动方程的全局光滑解

本文关注三维拟线性波动方程 $\ds\sum_{i,j=0}^3g^{ij}(u, \p u)\p_{ij}^2u$ $=0$，其初值为 $(u(0,x), \p_tu(0,x))=(\ve u_0(x), \ve u_1(x))$，其中 $x_0=t$，$x=(x_1, x_2, x_3)$，$\p=(\p_0, \p_1, ..., \p_3)$，$u_0(x), u_1(x)\in C_0^\infty(\Bbb R^3)$，$\ve>0$ 足够小，且 $g^{ij}(u, \p u)=g^{ji}(u, \p u)$ 在其变量上是光滑的。不失一般性，可写为 $g^{ij}(u, \p u)=c^{ij}+d^{ij}u+\ds\sum_{k=0}^3e^{ij}_k\p_ku+O(|u|^2+|\p u|^2)$，其中 $c^{ij}, d^{ij}$ 和 $e^{ij}_k$ 为某些常数，且 $\ds\sum_{i,j=0}^3c^{ij}\p_{ij}^2=-\square\equiv -\p_t^2+\Delta$。当 $\ds\sum_{i,j,k=0}^3e^{ij}_k\o_k\o_i\o_j\not\equiv 0$ 对于 $\o_0=-1$ 和 $\o=(\o_1, \o_2, \o_3)\in\Bbb S^2$ 时，文献 [7-8] 中的作者已证明，只要 $(u_0(x), u_1(x))\not\equiv 0$，光滑解 $u$ 将在有限时间内爆破。在本文中，当 $\ds\sum_{i,j,k=0}^3e^{ij}_k\o_k\o_i\o_j\equiv 0$ 时，我们将证明光滑解 $u$ 的全局存在性。因此，对于一般的三维拟线性波动方程 $\ds\sum_{i,j=0}^3g^{ij}(u, \p u)\p_{ij}^2u=0$，关于小数据解的爆破或全局存在性的完整结果得以建立。