三维对数-对数能量超临界波动方程光滑解的全局存在性

我们证明了三维对数-对数能量超临界波动方程$\partial_{tt} u - \triangle u = -u^{5} \log^{c} (log(10+u^{2}))$（其中$0 < c < {8/225}$）及光滑初始数据$(u(0)=u_{0}, \partial_{t} u(0)=u_{1})$的光滑解全局存在性。首先，我们通过一个依赖于能量及其$L_{t}^{\infty} \tilde{H}^{2}(\mathbb{R}^{3})$范数的先验上界的表达式，在任意大小的时间区间上控制解的$L_{t}^{4} L_{x}^{12}$范数，其中$\tilde{H}^{2}(\mathbb{R}^{3}):=\dot{H}^{2}(\mathbb{R}^{3}) \cap \dot{H}^{1}(\mathbb{R}^{3})$。这一长时间估计的证明依赖于一些势衰减估计\cite{bahger, shatstruwe}以及对\cite{taolog}中一个论证的修改。然后，我们通过将长时间估计与Strichartz估计的时间归纳相结合，找到解的$L_{t}^{\infty} \tilde{H}^{2}(\mathbb{R}^{3})$范数的后验上界。