3D三次准线性波系统的长时间光滑解：小弱衰减初始数据

对于3D三次准线性波系统 $\square_{c_i} u^i=G^i(u,\partial u,\partial^2u)=\displaystyle\sum_{\substack{0\le|\alpha|,|\beta|,|\gamma|\le1 \ 1\le j,k,l \le m}}g_{\alpha\beta\gamma}^{ijkl}\partial^{\alpha}u^j\partial^{\beta}u^k\partial^{\gamma}u^l$，已知当小平滑初始数据 $(u,\partial_tu)|_{t=0}$ $=(u_0(x), u_1(x))$ 为紧支撑或快速衰减时，全局解 $u$ 存在。然而，当 $(u_0, u_1)\in (H^{s+1}, H^s)$ 且 $s>\frac{5}{2}$ 为小数据时，尚未知晓 $u$ 是否全局存在。在本文中，我们证明若 $\|u_{0}\|_{H^{N+1}}+\|u_{1}\|_{H^N}\le\varepsilon$（$N\ge 6$）为小，则几乎全局解 $u$ 在 $[0, T_{\varepsilon}]$ 上存在，其中 $T_{\varepsilon}\ge e^{C\varepsilon^{-1}}$（对于一般 $G(u,\partial u,\partial^2u)$ 依赖于 $u$ 的情况）或 $T_{\varepsilon}\ge e^{C\varepsilon^{-2}}$（对于独立于 $u$ 的非线性 $G(\partial u,\partial^2u)$ 的情况）。此外，若 $\displaystyle\sum_{|a|\le 5}\|\langle x\rangle^{\mu}\partial^a_x(u _0,u_1)\|_{L^2}\le\varepsilon$ 对任意固定常数 $\mu\in (0,1)$ 成立，则解 $u$ 全局存在且可导出散射性。我们的主要工具包括在3D线性波方程中建立基于强Huygens原理的新的加权 $L^\infty-L^2$ 估计和Strichartz估计。