具有小弱衰减初值的拟线性 Klein-Gordon 方程的长时解

众所周知，对于具有二次非线性及充分衰减小初值的拟线性 Klein-Gordon 方程，若空间维数 $d\geq2$ 则存在整体光滑解。当初值在 Sobolev 空间中大小为 $\varepsilon>0$ 时，对于满足零条件的半线性 Klein-Gordon 方程，文章（J.-M. Delort, Daoyuan Fang, Almost global existence for solutions of semilinear Klein-Gordon equations with small weakly decaying Cauchy data, Comm. Partial Differential Equations 25 (2000), no. 11-12, 2119--2169）的作者证明了解在时间 $[0,T_\varepsilon)$ 内存在，且 $T_\varepsilon\ge Ce^{C\varepsilon^{-\mu}}$（$\mu=1$ 若 $d\ge3$，$\mu=2/3$ 若 $d=2$）。本文中，我们关注不满足零条件的一般拟线性 Klein-Gordon 方程，并进一步证明解的存在时间可改进为：若 $d\geq3$ 则 $T_\varepsilon=+\infty$，若 $d=2$ 则 $T_\varepsilon\ge e^{C\varepsilon^{-2}}$。此外，对于 $d=2$ 及任意固定数 $\alpha>0$，若初值带权重 $(1+|x|)^\alpha$ 的加权 $L^2$ 范数很小，则解整体存在并散射至自由解。论证基于引入一个良好未知量、Strichartz 估计、加权 $L^2$ 范数估计以及共振分析。