紧致流形上哈密顿偏微分方程的几乎全局存在性

我们证明了一个关于半线性哈密顿偏微分方程几乎全局存在性的抽象结果，这些方程满足非常弱的共振条件和基本的多线性估计。 thanks to Delort--Szeftel 的工作，这些假设在任意光滑的紧致无边界黎曼流形上的哈密顿偏微分方程中通常成立。作为主要应用，我们证明了在此类流形上求解非线性克莱因-戈尔方程的几乎全局存在性：对于几乎所有质量，任意大的 $r$ 和足够大的 $s$，初始数据足够小 $\varepsilon \ll 1$ 的解在 Sobolev 空间 $H^s \times H^{s-1}$ 中存在并保持在该空间内，时间为多项式 $|t| \leq \varepsilon^{-r}$。这是第一个在紧致流形上不作特定假设即可获得几乎全局存在性的结果。我们还将该抽象结果用于接近基态的非线性薛定谔方程以及具有正二次势的 $\mathbb{R}^d$ 上的非线性克莱因-戈尔方程。