具时间依赖尺度不变阻尼的半线性波动方程小数据弱解的全局存在性

本文研究具有时间依赖尺度不变阻尼的 $n$ 维半线性波动方程 $\partial_t^2u-\Delta u+\frac{\mu}{t}\partial_tu=|u|^p$ 的小数据弱解的全局存在性，其中 $n\geq 2$，$t\geq 1$，$\mu\in(0,1)\cup(1,2]$ 且 $p>1$。该方程可转化为半线性广义 Tricomi 方程 $\partial_t^2u-t^m\Delta u=t^{\alpha(m)}|u|^p$，其中 $m=m(\mu)>0$ 和 $\alpha(m)\in\Bbb R$ 是两个合适的常数。首先，对于任意固定常数 $m>0$ 和任意参数 $\alpha\in\Bbb R$ 的更一般的半线性 Tricomi 方程 $\partial_t^2v-t^m\Delta v=t^{\alpha}|v|^p$，我们将证明在 $\alpha\leq -2$、$n\geq 3$ 且 $p>1$ 的情况下，小数据弱解 $v$ 全局存在；在 $\alpha>-2$ 的情况下，通过确定共形指数 $p_{conf}(n,m,\alpha)>1$，当给定 $p\geq p_{conf}(n,m,\alpha)$ 的某些额外限制时，全局小数据弱解 $v$ 存在。回到原始方程 $\partial_t^2u-\Delta u+\frac{\mu}{t}\partial_tu=|u|^p$，可获得关于小数据解 $u$ 的相应全局存在性结果。