具有尺度不变时间依赖阻尼和时间导数非线性的波方程的全局存在性

本文讨论了具有尺度不变时间依赖阻尼和非线性时间导数项的波方程的Cauchy问题，模型为 $$\partial_{t}^2u- \Delta u +\frac{\mu}{1+t}\partial_tu= f(\partial_tu), \quad x\in \mathbb{R}^n, t>0,$$其中 $f(\partial_tu)=|\partial_tu|^p$ 或 $|\partial_tu|^{p-1}\partial_tu$，其中 $p>1$ 且 $\mu>0$。我们通过在适当的Sobolev空间中的能量估计，在低维 $1\leq n\leq 3$ 中证明了小数据解的全局存在性。我们的主要贡献是对 $p>1+\frac2{\mu}$ 的存在性结果，在一维情况下，当 $\mu \le 2$ 时成立，这与先前的 blow-up 结果 [\cite{Our2}] 相结合，确立了一维情况下小数据解的临界指数为 $p_G(1,\mu)=1+\frac2{\mu}$，当 $\mu \le 2$ 时。据我们所知，这是关于具有尺度不变和时间导数非线性的时间依赖阻尼波方程的临界指数范围的第一次识别。