具尺度不变阻尼的二维半线性波动方程的全局小数据弱解，I

存在一个有趣的开放问题：对于具尺度不变阻尼的 $n$ 维 ($n\ge 1$) 半线性波动方程 $\partial_t^2u-\Delta u+\frac{\mu}{t}\partial_tu=|u|^p$，其中 $t\ge 1$，$p>1$ 且 $\mu>0$，当 $p>p_{crit}(n,\mu)=\max\{p_s(n+\mu), p_f(n)\}$（其中 $p_{s}(n+\mu)=\frac{n+\mu+1+\sqrt{(n+\mu)^2+10(n+\mu)-7}}{2(n+\mu-1)}$ 且 $p_f(n)=1+\frac{2}{n}$）时，全局小数据弱解 $u$ 是否存在。注意到当 $1<p\le p_{crit}(n,\mu)$ 时，弱解 $u$ 会在有限时间内发生爆破。此外，对于 $n=1$ 的情况，该开放问题最近已被解决。我们现在系统地解决 $n=2$ 时的这一开放问题。作为第一部分，在本文中，我们针对 $p_{s}(2+\mu)<p<p_{conf}(2,\mu)=\frac{\mu+5}{\mu+1}$ 且 $\mu\in(0,1)\cup(1,2)$ 的情况建立了全局小解 $u$。我们的主要手段是寻找合适的共形幂 $p_{conf}(2,\mu)$，并为线性广义 Tricomi 方程 $\partial_t^2v-t^m\Delta v=F(t,x)$ ($m>0$) 的解推导出新型的时空加权 $L^{q}_tL^{q}_x([1, \infty)\times \mathbb{R}^2)$ 或 $L^q_tL^\nu_rL^2_{\theta}([1, \infty)\times [0, \infty)\times [0, 2\pi])$ Strichartz 估计。在后续论文中，我们将证明在剩余的 $p>1$ 且 $\mu>0$ 情况下小解 $u$ 的全局存在性。