三维空间中散焦能量次临界半线性波方程解的散射

在本文中，我们考虑三维空间中的半线性、能量次临界、散焦波方程 $\partial_t^2 u - \Delta u = - |u|^{p -1} u$，其中 $p \in [3,5)$。我们证明，如果初始数据 $(u_0, u_1)$ 是径向的，且满足 $\|\nabla u_0\|_{L^2 ({\mathbb R}^3; d\mu)}, \|u_1\|_{L^2 ({\mathbb R}^3; d\mu)} \leq \infty$，其中 $d \mu = (|x|+1)^{1+2\varepsilon}$，$\varepsilon > 0$，则对应的解 $u$ 必对所有时间 $t \in {\mathbb R}$ 存在并散射。证明的关键要素包括一个变换 $\mathbf{T}$，使得 $v = \mathbf{T} u$ 求解具有有限能量的方程 $v_{\tau \tau} - \Delta_y v = - \left(\frac{|y|}{\sinh |y|}\right)^{p-1} e^{-(p-3)\tau} |v|^{p-1}v$，以及关于上述解 $v$ 的几个整体时空积分估计。