双曲空间上的半线性移位波动方程及其在ℝ²上五次波动方程的应用

本文考虑双曲空间上的一个半线性、散焦的移位波动方程 $$\partial_t^2 u - (\Delta_{{\mathbb H}^n} + \rho^2) u = - |u|^{p-1} u, \quad (x,t)\in {\mathbb H}^n \times {\mathbb R};$$ 并引入一个Morawetz型不等式 $$\int_{-T_-}^{T_+} \int_{{\mathbb H}^n} |u|^{p+1} d\mu dt < C E,$$ 其中E是能量。将此不等式与适定性理论相结合，我们能够对初始数据在 $H^{1/2,1/2} \times H^{1/2,-1/2}({\mathbb H}^n)$ 中的解建立散射结果，条件是 $2 \leq n \leq 6$ 且 $1<p<p_c = 1+ 4/(n-2)$。作为另一个应用，我们证明ℝ²上的五次波动方程 $\partial_t^2 u - \Delta u = - |u|^4 u$ 的解发生散射，如果其初始数据是径向的且满足条件 $$|\nabla u_0 (x)|, |u_1 (x)| \leq A(|x|+1)^{-3/2-\varepsilon};\quad |u_0 (x)| \leq A(|x|)^{-1/2-\varepsilon};\quad \varepsilon >0.$$