关于 $\mathbb{R}^{1+2}$ 中散焦半线性波动方程的全局行为

本文研究 $\mathbb{R}^{1+2}$ 中具有纯幂次非线性的散焦半线性波动方程的渐近衰减性质。通过对零超平面应用新的向量场，我们导出了势能改进的随时间衰减，由此得到当所有 $p>1+\sqrt{8}$ 时解在临界 Sobolev 空间和能量空间均散射。进一步结合 Brézis-Gallouet-Wainger 型对数 Sobolev 嵌入，我们证明当 $p>\frac{11}{3}$ 时解以点态锐率 $t^{-\frac{1}{2}}$ 衰减，而对所有 $1<p\leq \frac{11}{3}$ 以速率 $t^{ -\frac{p-1}{8}+\epsilon }$ 衰减。这特别意味着当 $p>2\sqrt{5}-1$ 时解在能量空间散射。