Schwarzschild 流形上大数据半线性波动方程的空间-时间积分估计

我们考虑波动方程 $(-\partial_t^2+\partial_r^2 -V -V_L(-\Delta_{S^2})) u = fF'(|u|^2) u$,其中 $(t,\rho,\theta,\phi)\in \mathbb{R}\times\mathbb{R}\times S^2$。具有单条闭测地曲面的球对称流形上的波动方程,或 Schwarzschild 流形外部上的波动方程,均可化为该形式。利用一种不需要球谐分解的光滑化 Morawetz 估计,我们证明了对于能量类中的初值,即便初值很大,在 $L^2_{loc}$ 中仍存在衰减。这要求势 $V$、$V_L$ 与 $f$ 满足一定条件。我们证明了光滑化 Morawetz 估计中权函数的关键条件可化为一个 ODE 条件,并通过数值方法验证了该条件。