Schwarzschild 黑洞附近波动方程具有微小正则性损失的改进衰减率

我们继续研究球对称 Schwarzschild 黑洞外部的解耦波动方程。由于光子球上的零测地线环绕黑洞，必须额外努力以证明解的高角动量分量衰减得足够快，特别是对于低正则性初值。先前的结果是正则 ($H^3$) 初值的快速衰减 \cite{BSterbenz} 与粗糙 ($H^{1+\epsilon}$) 初值的较慢衰减 \cite{BlueSoffer3}。此处，我们结合这些方法证明共形荷的有界性。由此我们得出结论：对具有朝无穷远与分岔球面额外衰减的 $H^{1+\epsilon}$ 初值，存在全局时间、时空范数的估计，特别地 \int_I |\tilde\phi|^4 d^4vol < C。这里 $\tilde\phi$ 指波动方程的解。$I$ 表示 Schwarzschild 解的externa区域，可用坐标表示为 $r>2M$, $t\in\Reals, \omega\in S^2$，且 $d^4\text{vol}$ 是由 Schwarzschild 伪度量诱导的自然 4 维体积。我们还证明光子球对波动方程的影响与闭测地线对黎曼流形上波动方程的影响相同。我们通过将技术推广到一类黎曼流形上的波动方程来展示这一相似性。在进一步假设下，时空估计足以证明一类具有闭测地线的黎曼流形上小数据非线性波动方程的全局估计。由于在此正则性水平下 $L^\infty$ 估计不能成立，我们必须使用全局时空积分估计。