黑洞蒸发中振幅的 Bogoliubov 变换

熟知的坍缩形成黑洞后量子辐射的研究方法通过 Bogoliubov 变换进行，并给出最终结果的概率。在我们的（复）方法中，通过遵循 Feynman 的 $+i\epsilon$ 规定，我们求得的是量子振幅而不仅仅是概率。Einstein 引力与（例如）无质量标量场的初末数据在一对渐近平坦的类空超曲面 $\Sigma_I$ 和 $\Sigma_F$ 上给定；两者均微分同胚于 ${\Bbb R}^3$。记 $T$ 为在空间无穷远处测量的两超曲面间的（实）Lorentz 固有时隔。然后作旋转：$T\to{|}T{|}\exp(-i\theta),0<\theta\leq \pi/2$。该经典边值问题预期在拓扑为 $I\times{\Bbb R}^3$ 的区域上是适定的，其中 $I$ 为闭区间。对于局部超对称理论，量子振幅应由半经典表达式 $\exp(iS_{\rm class})$ 主导，其中 $S_{\rm class}$ 为经典作用量。Lorentz 量子振幅由极限 $\theta\to 0_+$ 得到。在通常方法中，唯一可能的此类末态超曲面位于曲率奇点之前的强场区域。在我们的方法中，可以在 $\Sigma_F$ 上给定任意光滑的引力数据，只要它具有正确的质量 $M$——在解析延拓中绕过了奇点。本文考虑 Bogoliubov 变换及其与传统方法中概率分布和密度矩阵的可能联系。我们发现，末态标量场位形的概率分布无法用某个非平凡密度矩阵分布的对角元来表达。