黑洞蒸发中的量子振幅 I. 复方法

本文研究由引力坍缩形成的类 Schwarzschild 黑洞在极晚时刻向几乎平坦的时空与微弱辐射的量子力学衰变，旨在计算末态的量子振幅（而不仅仅是概率）。坍缩为黑洞的过程中没有信息丢失。在初末超曲面 $\Sigma_{I, F}$ 上给定边界数据，二者间的 Lorentz 固有时隔 $T$ 在空间无穷远处测量。为简单起见，考虑与无质量标量场 $\phi$ 最小耦合的 Einstein 引力。在 Lorentz 符号下，与边界面上内禀空间度规 $h_{ij} (i,j =1,2,3)$ 和 $\phi$ 的给定相对应的经典 Dirichlet 边值问题是病态的，因为它是类波（双曲型）方程组的边值问题。遵循 Feynman 的 $+i\epsilon$ 规定，通过将渐近时间隔 $T$ 旋入复平面：$T\to{|} T{|}\exp(-i\theta)$（其中 $0<\theta\leq\pi/2$），使该问题变为适定。在计算了 $\theta>0$ 的振幅后，取“Lorentz 极限”$\theta\to 0_+$ 以获得 Lorentz 量子振幅。