黑洞蒸发中振幅的Bogoliubov变换

研究坍缩形成黑洞后量子辐射的常用方法是通过Bogoliubov变换，并给出最终结果的概率。在我们的（复）方法中，我们遵循Feynman的 $+i\epsilon$ 规则，找到量子振幅，而不仅仅是概率。爱因斯坦引力以及（比如说）无质量标量场的初始和最终数据在两条渐近平直类空超曲面 $\Sigma_I$ 和 $\Sigma_F$ 上给出；两者都与 ${\Bbb R}^3$ 微分同胚。用 $T$ 表示在空间无穷远处测得的表面之间的（实）Lorentzian固有时间间隔。然后旋转：$T\to{\mid}T{\mid}\exp(-i\theta),0<\theta\leq \pi/2$。{\it 经典}边值问题预计在拓扑为 $I\times{\Bbb R}^3$ 的区域上是适定的，其中 $I$ 是闭区间。对于局部超对称理论，量子振幅应由半经典表达式 $\exp(iS_{\rm class})$ 主导，其中 $S_{\rm class}$ 是经典作用量。我们从极限 $\theta\to 0_+$ 得到Lorentzian量子振幅。在通常的方法中，唯一可能的此类最终表面是在曲率奇点之前不久的强场区域。在我们的方法中，可以在 $\Sigma_F$ 上放置任意光滑的引力数据，只要它具有正确的质量 $M$——奇点在解析延拓中被绕过了。在这里，我们考虑Bogoliubov变换及其与传统方法中概率分布和密度矩阵的可能关系。我们发现，我们对于最终标量场构型的概率分布不能表示为某个非平凡密度矩阵分布的对角元素。