高维史瓦西黑洞上线性波的衰减

在本文中，我们考虑高维史瓦西黑洞时空上线性波动方程的解，并证明了稳健的非退化能量衰减估计，这些估计在非线性稳定性问题中原则上需要。更精确地说，对于史瓦西时空流形 $(M^n_m, g)$（其中 $n \ge 3$ 是空间维度，$m > 0$ 是黑洞质量）的外部通信域上的波动方程 $\Box_g\phi=0$ 的解，通过超曲面叶状结构 $(\Sigma_\tau)$（终止于未来零无穷远且在分叉球面未来）的相关能量通量 $E[\phi](\Sigma_\tau)$ 衰减为 $E[\phi](\Sigma_\tau) \le CD/\tau^2$，其中 $C$ 是仅依赖于 $n$ 和 $m$ 的常数，$D < \infty$ 是 $\Sigma_0$ 上合适的更高阶初始能量；此外，我们将一阶能量的衰减率改进为 $E[\partial_t\phi](\Sigma_\tau^R) \le CD/\tau^{4-2\delta}$，其中 $\delta > 0$ 任意，$\Sigma_\tau^R$ 表示在任意大的固定半径 $R < \infty$ 处截断的超曲面 $(\Sigma_\tau)$，前提是 $\Sigma_0$ 上的高阶能量 $D_\delta$ 有限。我们通过在这两个结果之间插值得到逐点估计 $|\phi|_{\Sigma_\tau^R} \le (C D'_\delta) / \tau^{3/2-\delta}$ 来结束本文。在这项工作中，我们遵循 Dafermos 和 Rodnianski 关于波动方程衰减的新的物理空间方法。