施瓦西黑洞背景下线性波的逐点衰减

我们证明了在不对数据做对称性假设的情况下，施瓦西黑洞的标量线性扰动具有尖锐的逐点 $t^{-3}$ 衰减。我们还考虑了电磁扰动和引力扰动，分别获得了 $t^{-4}$ 和 $t^{-6}$ 的衰减率。我们的方法是通过将扰动分解为角动量 $\ell$，并对固定 $\ell$ 的 Regge-Wheeler 方程上的衰减估计进行求和。我们发现了一个二分法：时间衰减律完全由远场中 Regge-Wheeler 势的渐近行为决定，而常数随 $\ell$ 的增长则由 Regge-Wheeler 势在其最大值附近小邻域内的行为决定。换句话说，尾部由小能量控制，而数据所需的角导数数目则由接近 Regge-Wheeler 势顶部的能量决定。这一二分法对应于一个众所周知的原则：在初始时刻，衰减反映了由势最大值产生的复数共振的存在，而在后期，尾部则由远场决定。然而，我们完全没有使用复数共振，而是依赖于基于顶部能量附近 Mourre 界的半经典 Sigal-Soffer 型传播估计。