渐近平坦时空上波衰减的 Price 定律的精确版本

对于一类包含次极值 Kerr 黑洞的平稳渐近平坦 $(3+1)$ 维时空上的标量波方程的解 $\phi(t,x)$，我们证明了具有显式领头项的 Price 定律。我们在完整的前向因果锥中的精确渐近性特别表明，对于有界的 $|x|$，有 $\phi(t,x)=c t^{-3}+\mathcal O(t^{-4+})$，其中 $c\in\mathbb C$ 是一个显式常数。这种衰减在 Kerr 时空的事件视界上也成立，从而使 Luk-Sbierski 关于 Cauchy 视界的线性标量不稳定性的结果成为无条件结果。此外，我们还证明了辐射场的逆二次衰减，并带有显式领头项。我们针对具有逆三次空间衰减的平稳势的散射建立了类似的结果。在 Schwarzschild 时空上，我们证明了角频率至少为 $l$ 的波具有逐点 $t^{-2 l-3}$ 衰减，而额外在初始时刻为静态的波具有 $t^{-2 l-4}$ 衰减。这完全在最一般的意义上确立了线性标量波的 Price 定律。证明的核心是低能量下预解式的分析。我们没有显式构造其 Schwartz 核，而是更直接地使用了由 Melrose 首创、最近由 Vasy 扩展到零能量极限的几何微局部极限吸收原理方法。