反对光滑零无穷第三部：Schwarzschild 背景上线性波高阶 $\ell$ 模的早期时间渐近

在本文中，我们推导了固定频率解 $\phi_\ell$ 在固定 Schwarzschild 背景（$M>0$）上波动方程 $\Box_g \phi_\ell=0$ 的早期时间渐近，这些解源于 $\mathcal I^-$ 上的无入射辐射条件以及多项式衰减数据，即在常数面积半径的类时边界（I）或入射零超曲面（II）上 $t\to-\infty$ 时 $r\phi_\ell\sim t^{-1}$。在情形（I）中，我们证明沿类空间无穷 $i^0$ 附近出射零超曲面的 $\partial_v(r\phi_\ell)$ 渐近展开在阶 $r^{-3-\ell}\log r$ 处含有对数项。相反，在情形（II）中，我们得到类空间无穷 $i^0$ 附近的 $\partial_v(r\phi_\ell)$ 渐近展开在阶 $r^{-3}\log r$（除非 $\ell=1$）已含有对数项。这些结果提出了一种研究未来类时无穷 $i^+$ 附近晚期时间渐近的替代方法，其不假设共形光滑或紧支撑柯西数据：在情形（I）中，我们的结果表明对每个 $\ell$ 模 Price 定律有对数修正。另一方面，情形（II）的数据导致对 Price 定律强得多的偏离。特别地，我们猜想 $\mathcal H^-$ 和 $\mathcal I^-$ 上的紧支撑散射数据导致的解在每个 $\ell$ 上于 $\mathcal I^+$ 展现相同的晚期时间渐近：当 $u\to\infty$ 时 $r\phi_\ell|_{\mathcal I^+}\sim u^{-2}$。