流形上 Schrödinger 方程的长时间衰减估计

本文发展了 Enss 方法的定量版本，以建立流形上 Schrödinger 方程解的全局时间衰减估计。为简化叙述，我们仅考虑形如 $H := - {1/2} \Delta_M$ 的 Hamilton 量，其中 $\Delta_M$ 是三维欧氏空间 $\R^3$ 的光滑紧扰动流形 $M$ 上的 Laplace-Beltrami 算子，且满足非捕获条件。我们对 Schrödinger 方程 $u_t = -iHu$ 建立了全局时间局部光滑估计。此处的主要新颖之处在于估计的全局时间方面，这迫使比局部时间理论更细致地分析演化的低频与中频。特别地，为处理中频我们需要 RAGE 定理（反映了 $H$ 无嵌入特征值），连同 Enss 方法的定量版本将解渐近分解为入射与出射分量；而为处理低频我们需要一个 Poincare 型不等式（反映了 $H$ 在零处无本征函数或共振）。