双线性 Strichartz 估计与非线性薛定谔方程的几乎必然整体解

本文旨在以概率意义下构造定义在 $\mathbb{R}^d$ 上的非线性薛定谔方程在超临界情形下的整体解。首先，我们建立了谐振子的 Bourgain 型双线性估计，对于 $\mathbb{R}^3$ 中的三次方程，在随机化初值条件下，该估计为局部理论带来了空间上半阶导数的增益。随后，借助透镜变换，我们能够得到无谐振势的非线性薛定谔方程的全局时间解。其次，我们证明了带谐振势的线性薛定谔方程的 Kato 型光滑估计。这使我们能够在任意维数 $d\geq 2$ 的超临界情形下考虑具有奇次非线性项的薛定谔方程。