从散射数据中恢复满足零条件的半线性势

我们在闵可夫斯基空间中构造了满足如下形式零条件的完全半线性波动方程的振荡解：$$\square u:=(-\partial_{x_0}^2 +\sum_{j=1}^n \partial_{x_j}^2 )u= q(x,u)((\partial_{x_0}u)^2-|\nabla_{x'}u|^2),$$ $$x=(x_0,x'), \;\ x'=(x_1,\ldots, x_n) \text{ 且 } x_0=t \text{ 为时间变量,}$$ 定义在区间 $x_0\in [-T,T]$（$T<\infty$ 任意）上，该解由一个非振荡背景解与一个波长为 $h\ll1$、振幅为 $h$ 的幂次的高振荡波单相波列叠加而成；波与非线性项相互作用，我们在固定时间 $x_0=T'<T$ 处测量响应 $u(x_0,x')|_{x_0=T'}$。我们证明，解的非线性几何光学展开中振荡部分振幅 $h$ 的系数决定了与 $q(x,u)$ 相关联的向量场的光线变换，从而在由数据确定的最大区域内唯一确定了 $q(x,u)$。我们的方法也适用于满足零条件的半线性波动方程组，但在本文中我们聚焦于标量情形。